Explicit Presentations for the Dual Braid Monoids

Birman, Ko & Lee have introduced a new monoid Bn—with an explicit presentation— whose group of fractions is the n-strand braid group Bn. Building on a new approach by Digne, Michel and himself, Bessis has defined a dual braid monoid for every finite Coxeter type Artin-Tits group extending the type A case. Here, we give an explicit presentation for this dual braid monoid in the case of types B and D, and we study the combinatorics of the underlying Garside structures. c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Présentations pour les monoı̈des de tresses duaux Résumé. Birman, Ko et Lee ont introduit un nouveau monoı̈de Bn—avec une présentation explicite— dont le groupe de fractions est le groupe Bn des tresses à n brins. Suivant une nouvelle approche proposée avec Digne et Michel, Bessis a défini un monoı̈de de tresses dual pour tout groupe d’Artin-Tits de type de Coxeter fini généralisant le cas du type A. Ici, nous donnons une présentation explicite de ce monoı̈de de tresses dual pour les groupes d’Artin-Tits de type B et D, et nous étudions la combinatoire des structures de Garside sous-jacentes. c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Birman, Ko & Lee introduisent dans [2] un nouveau monoı̈de pour les groupes de tresses (de type A) avec une présentation explicite. La question de possibles généralisations se pose naturellement. Une bonne notion pour l’étude de ces nouveaux monoı̈des de tresses (mais aussi de monoı̈des pour les groupes de tresses des groupes de réflexions complexes, pour les groupes d’entrelacs, etc) est celle de monoı̈de de Garside, introduite par Dehornoy & Paris dans [12] et exploitée dans [3, 4, 7, 9, 10, 13, 16, 17, 18] :M est un monoı̈de de Garside si M est un monoı̈de simplifiable, admet des ppcm à droite et à gauche et admet un élément de Garside défini comme un élément dont les diviseurs à droite et à gauche coı̈ncident, engendrent M et sont en nombre fini. Les diviseurs de l’élément de Garside minimal sont appelés les éléments simples deM ; muni des opérations ppcm et pgcd, l’ensemble des éléments simples est un treillis fini. Les monoı̈des de Garside se plongent dans leurs groupes de fractions, ont de bonnes formes normales, des structures automatiques explicites, etc. Le critère donné dans [10] permet de décider si une présentation de monoı̈de est celle d’un monoı̈de de Garside : il consiste en la vérification de conditions de complétude et de cube et de l’existence d’un élément de Garside. Note présentée par Jacques TITS S0764-4442(00)0????-?/FLA c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1